Nie kończąca się historia - cz. I
- Utworzono: wtorek, 06, sierpień 2013 08:29
U większości z nas fakt, że liczb jest nieskończenie wiele, nie budzi ani większych wątpliwości, ani też w żaden sposób nas nie dziwi. Umyślnie zresztą użyłem tu nader ogólnego określenia "liczby", nie precyzując, czy chodzi o naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste – czy jeszcze inne. W każdym razie spośród wymienionych pięciu zbiorów każdy jest nieskończony – i już w szkole traktujemy to jako coś oczywistego.
Wystarczy tu zresztą prosta intuicja, w myśl której nieskończoność tych zbiorów oznacza po prostu tyle, że zawsze można wyobrazić sobie liczbę większą (albo – w ujemnych – mniejszą) od zadanej. W istocie to właśnie mieli na myśli starożytni, gdy dowodzili np. faktu, że liczb pierwszych (czyli takich, które podzielne są tylko przez siebie i przez 1, nie mają innych dzielników) jest nieskończenie wiele. Twierdzenie formułowano np. tak: dla każdej zadanej liczby pierwszej można znaleźć inną liczbę pierwszą, większą od niej. To zrozumiałe, albowiem przesadne i przedwczesne skupienie się na pojęciu "nieskończoności" mogłoby być nieco kłopotliwe. Jak bowiem wyobrazić sobie, zwizualizować, ogarnąć rozumem nieskończony ciąg? Milion, miliard, trylion – i tak dalej... Mało tego: jak pojąć fakt, że np. pomiędzy każdymi dwiema liczbami pewnego rodzaju może być nieskończenie wiele innych liczb tego rodzaju (np. pomiędzy liczbami wymiernymi na prostej – są one rozmieszczone gęsto, w przeciwieństwie np. do liczb naturalnych lub całkowitych).
Studia uniwersyteckie z matematyki z jednej strony pozwalają spojrzeć na te zagadnienia z bliska, z drugiej zaś na dłuższą metę mogą okazać się zwodnicze. Student zaczyna bowiem pewne rzeczy w toku nauki jeśli nawet nie przyjmować na wiarę (wszak zwykle otrzymuje dowody) – to przynajmniej bez głębszej refleksji. Liczb naturalnych jest alef zero, liczb rzeczywistych kontinuum itd. - zapamiętuje się takie proste formuły i przechodzi nad nimi do porządku dziennego, gdy przecież fakt, że istnieją różne rodzaje nieskończoności, jest czymś bardzo tajemniczym, co powinno zadziwiać. Mało tego: rodzi to także masę pytań o to, czym właściwie są liczby i cała matematyka, czy mamy tu do czynienia z konstruktami umysłu, albo wręcz z pustymi pojęciami, których racją istnienia jest co najwyżej wzajemna niesprzeczność – czy może badamy jakiś świat idei, "umysł Boga", który nie mógłby być inny niż jest. Czy postawienie i udowodnienie twierdzenia to stworzenie czegoś – czy "tylko" odkrycie?
Podstawy teorii zbiorów i nauki o liczbach nieskończonych sformułował Georg Cantor, niemiecki matematyk żyjący w latach 1845 – 1918. Poniżej przedstawimy kilka zupełnie podstawowych wniosków, do których doszedł w swoich badaniach, a które dziś są w pełni włączone w nowoczesną matematykę[1].
Czytelnik zaznajomiony z kursem uczelnianym takim jak "teoria zbiorów" lub "wstęp do matematyki wyższej" prawdopodobnie nie znajdzie tu nic nowego, ale czytelnik słabiej zaznajomiony z matematyką lub traktujący ją dotąd jako praktyczne narzędzie inżyniera czy ekonomisty, może być chwilami nieco zaskoczony. Co więcej, może uznać, że to bardzo ciekawe zagadnienia, które warto zgłębić w wolnej chwili.
Kiedy dwa zbiory są równej mocy? Otóż używamy tego sformułowania, gdy mają taką samą liczbę elementów. A zatem {1, 2, 3} ma moc taką samą jak {4, 5, 6}, bo w każdym z tych zbiorów są trzy elementy. Czy w takim razie zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są równej mocy? Pierwsza intuicja mówi, że nie – wszak do całego zbioru naturalnych (a więc {0, 1, 2, 3, 4, ...})[2] dochodzą jeszcze ujemne, a więc całkowitych powinno być "dwa razy więcej". Problem w tym, że akurat liczb całkowitych i naturalnych jest tyle samo – a to dlatego, że można podać przykład wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania między oboma zbiorami. Innymi słowy, wszystkie liczby całkowite można "ponumerować" naturalnymi. Możemy np. liczbie zero (jako całkowitej) przypisać liczbę 1 (zatem 0 będzie pierwszą liczbą całkowitą), liczbie -1 przypisać wartość naturalną 2, liczbie 1 – wartość 3, liczbie -2 – wartość 4, liczbie 2 – wartość 5. I tak dalej, przez co widzimy, że z powodzeniem "wystarczy" nam liczb naturalnych do ponumerowania całkowitych.
Jak zatem ma się sprawa z liczbami wymiernymi, a więc – by ująć rzecz potocznie – z ułamkami? Wspomnieliśmy wcześniej, że jest to zbiór gęsty (w przestrzeni liczb rzeczywistych). Ścisła definicja gęstości nie jest tu istotna, wystarczy intuicyjna. Otóż jeśli mamy dwie liczby wymierne, to zawsze możemy znaleźć inną liczbę wymierną pomiędzy nimi – choćby średnią arytmetyczną dwóch poprzednich. Z liczbami naturalnymi czy całkowitymi tak nie jest – pomiędzy 3 i 4 nie ma innych liczb. Wydawałoby się więc, że tym razem chyba trafiliśmy – liczb wymiernych musi być więcej niż naturalnych. W końcu można brać je pod coraz większe powiększenie i znajdować następne.
Okazuje się, że nie jest ich więcej. To właśnie jeden z ważniejszych wyników Cantora. Dowiedziemy za chwilę, że zbiory liczb wymiernych i naturalnych są tej samej mocy. Szukamy, jak już wiemy, wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania (funkcji) pomiędzy oboma zbiorami. Wzajemnie jednoznacznego – tj. różnowartościowego i "na". Różnowartościowość oznacza, że jeśli argumenty funkcji są różne, to i wartości są różne. Nie ma sytuacji, w której np. dwóm liczbom wymiernym przyporządkowujemy tę samą naturalną. "Na" – to znaczy, że wykorzystamy wszystkie liczby naturalne, innymi słowy – że dla każdej liczby naturalnej można znaleźć "po drugiej stronie" liczbę wymierną, z której ta naturalna "powstała".
Proszę bardzo:
Na powyższym obrazku przedstawiono sposób ponumerowania (małymi czerwonymi liczbami) liczb wymiernych dodatnich (dla uproszczenia sprawy; pamiętajmy przy tym, że zero nie jest liczbą dodatnią). Nie twierdzimy przy tym, że liczba 1 jest "pierwszą" z dodatnich liczb wymiernych w takim np. sensie, w jakim np. jest pierwszą dodatnią liczbą całkowitą. Powyższy obrazek mógłby wyglądać inaczej – istotne jest jedynie to, że pokazaliśmy drogę przy pomocy której każdej liczbie wymiernej (dodatniej) można "nadać numerek" (naturalny). Możemy ustawić wymierne dodatnie w ciąg. Oczywiście dokonując ostatecznego ustawienia usuniemy wszystkie te ułamki, które da się skrócić (licznik i mianownik mają wspólny czynnik) – na przykład skoro mamy 1, to nie będzie nam już potrzebne 2/2 czy 3/3, skoro mamy 3/4, to pominiemy 6/8 i 9/12.
Pójdźmy więc za ciosem i pokażmy, że liczb rzeczywistych również jest dokładnie tyle, ile naturalnych. Niestety, tego uczynić nie możemy – bo tak nie jest. Liczb rzeczywistych nie da się ponumerować. Wykażemy to nie wprost. Na czym polega dowód nie wprost? W gruncie rzeczy często stosujemy w życiu codziennym nie do końca ścisłe, a jednak pożyteczne dowody tego rodzaju. Możemy na przykład powiedzieć: "To niemożliwe, że w tym pokoju odkurzano, bo wtedy na środku dywanu na pewno nie byłoby tych okruchów". Przyjęliśmy, że na dywanie są okruchy (widzimy to) i "na próbę" założyliśmy, że w pokoju odkurzano. Odkrywamy jednak sprzeczność z naszą obserwacją – gdyby odkurzano, to odkurzacz niechybnie wciągnąłby okruchy[1]. A zatem nasze podejrzenie, iż odkurzano – jest błędne, bo kłóci się z tym, co wiemy na pewno. Analogicznie i my pokażemy, że "to niemożliwe, iż liczb rzeczywistych jest tyle samo, co naturalnych – bo wówczas...". Bo wówczas doszlibyśmy do jakiejś sprzeczności, nonsensu, absurdu.
Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieć sumę zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych, ale warto znać także definicje formalne. Dwie podstawowe to ta, która bazuje na przekrojach Dedekinda – i ta, którą wprowadził właśnie Georg Cantor. Nie będziemy jednak teraz czynić kolejnej dygresji.
Czytelnik zgodzi się zapewne, że dowolną liczbę rzeczywistą można zapisać jako ułamek dziesiętny nieskończony, a to mianowicie według wzoru:
Na przykład możemy mieć 0,333... (czyli jedną trzecią – zakładamy, że tak naprawdę w miejscu kropek powtarzają się w nieskończoność trójki), 0,500... (to po prostu 1/2, zakładamy, że zera też powtarzają się w nieskończoność) albo rozwinięcie dziesiętne liczby pi, którego pierwsze cyfry to 3,1415...
Załóżmy zatem, że w jakiś tajemniczy sposób udało się nam ponumerować liczby rzeczywiste. Zakładamy to nie wprost. Można wyobrazić sobie, że jakiś dobry znajomy zapewnia nas z ogniem w oczach, że przed chwilą udało mu się dokonać tego wyczynu. Wówczas my przedstawiamy mu liczbę niewątpliwie rzeczywistą, a zarazem taką, której z całą pewnością nie udało mu się "przeliczyć", tj. oznaczyć numerem, powiązać z jakąś liczbą naturalną. Mało tego, poprowadzimy rozumowanie w ten sposób, by zagwarantować, że znajomy niczym nas już nie zaskoczy – za każdym razem będziemy mogli powtórzyć rozumowanie, nawet jeśli on w międzyczasie włączy naszą liczbę w swój ciąg.
Właśnie – ciąg. Otóż skoro liczby rzeczywiste można ponumerować, to można ustawić je w ciąg. Pierwsza, druga, setna, milionowa, miliardowa liczba etc. Taki ciąg, zawierający wszystkie liczby rzeczywiste, wyglądałby więc następująco (prezentujemy postać trzech pierwszych wyrazów):
Dalej wyglądałoby to analogicznie. Powstałby zatem ciąg rozwinięć dziesiętnych, coś w rodzaju: 0,12443..., 1,353535..., 4,24000... itd. Prędzej czy później ma się w nim rzekomo pojawić każda liczba rzeczywista.
Tworzymy zatem nową liczbę. Jak? Niech będzie to (czysto arbitralne założenie) liczba mniejsza od 1, większa od zera. Co wstawimy po przecinku? Na pierwszym miejscu dowolną cyfrę, która będzie różna od pierwszej cyfry wyrazu R1 naszego ciągu, czyli od a1. Niech będzie też różna od 0 i 9 (bo wiemy, że np. 0,999... to w istocie 1,000..., ale chcemy uniknąć dwuznaczności). Przykładowo, jeśli pierwszym wyrazem naszego ciągu jest 2,4536... - to na pierwsze miejsce po przecinku naszej nowej liczby wybieramy dowolną cyfrę inną niż 0, 4 i 9 – np. 3.
Na drugie miejsce wstawiamy dowolną cyfrę różną od b2 – czyli od tego, co znajduje się w drugim wyrazie ciągu na drugim miejscu po przecinku. Dalej postępujemy podobnie: na trzecie miejsce naszej nowej liczby dajemy cyfrę różną od c3 – i tak dalej. Ostatecznie powstaje nam liczba wyglądająca tak: N = 0,N1N2N3N4...
Co można o niej powiedzieć? Z pewnością to, że różni się od każdej z liczb R1, R2... Dlaczego? Bo od każdej z nich różni się przynajmniej jedną cyfrą – np. od R10 różni się cyfrą na miejscu dziesiątym (zgodnie z naszym sposobem konstruowania). Co to oznacza? Przypomnijmy, że ciąg R1, R2, R3 ... miał zawierać wszystkie liczby rzeczywiste. Problem w tym, że naszej nowej liczby z pewnością nie zawiera. Wnioskujemy zatem, że nasze (czy też naszego dobrego znajomego) przekonanie, że udało się ponumerować (przeliczyć) liczby rzeczywiste – było złudzeniem. Podaliśmy kontrprzykład dla tezy. Swoją drogą, zbiory, które mają tyle samo elementów, co zbiór liczb naturalnych – nazywamy przeliczalnymi. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc nieprzeliczalny.
Faktu tego dowiedziemy także w inny sposób. Wpierw jednak zauważmy, że moc każdego odcinka otwartego (domkniętego, jak się okazuje, też) jest taka sama, jak całego zbioru liczb rzeczywistych. Funkcją, która przeprowadzi nam odcinek na cały zbiór liczb rzeczywistych jest tg(ax) – z odpowiednio dobranym a. Co za tym idzie, aby dowieść czegoś o continuum, tj. mocy zbioru liczb rzeczywistych, wystarczy, że przedstawimy ten fakt na odcinku - np. (0, 1).
Co właściwie chcemy pokazać? Że dla każdego zadanego nam ciągu liczb rzeczywistych z (0, 1) (oznaczonego np. jako a1, a2, a3 ...) możemy znaleźć taką liczbę c (rzeczywistą), która doń nie należy. Dla każdego – a więc nie ma takiego ciągu, w którym byłyby wszystkie liczby rzeczywiste.
Tym razem robimy to tak. Bierzemy odcinek (0, 1) i budujemy ciąg kolejnych odcinków: (p1, q1), (p2, q2), ..., (pn, qn), .... wewnątrz niego. Oczywiście nie przypadkowy. Najpierw dbamy o to, by długość każdego odcinka była równa 1/3n. Czyli pierwszy odcinek ma długość 1/3, drugi 1/9, trzeci 1/27 etc. Poza tym każdy kolejny zawierać winien się w poprzednim. I wreszcie: przy każdym kroku dbamy o to, aby w n-tym odcinku nie było n-tego wyrazu zadanego nam ciągu rzeczywistego.
Konkretnie może to wyglądać następująco:
1) Dzielimy odcinek (0, 1) na trzy części – od zera do 1/3, od 1/3 do 2/3, wreszcie od 2/3 do 1. Czyli mamy (0, 1/3], (1/3, 2/3), [2/3, 1). Sprawdzamy, ile wynosi a1. Przypuśćmy (dla przykładu), że wyraz ten wynosi np. 3/4. Zatem na pewno nie mieści się w (1/3, 2/3). Nie mieści się też w (0, 1/3], ale załóżmy dla ustalenia uwagi, że bardziej podoba nam się (1/3, 2/3). Przyjmujemy, że w naszym ciągu odcinków p1 to 1/3, q1 to 2/3. Czyli (p1, q1) to (1/3, 2/3).
2) W kolejnym kroku dzielimy (1/3, 2/3) znów na trzy części: (1/3, 4/9), [4/9, 5/9), [5/9, 6/9). Sprawdzamy wyraz a2 i wybieramy taki przedział, do którego a2 nie należy. Być może okaże się to przedział środkowy i wtedy mamy (p2, q2) = (4/9, 5/9).
Analogicznie postępujemy w kolejnych krokach, rzecz jasna – nieskończenie wielu. Odcinki są coraz węższe i zbiegają (używamy tu tego słowa trochę nieformalnie, bo nie wprowadzaliśmy ściśle zbieżności) do pewnego punktu c. Punkt ten jest przy rosnących n granicą ciągu lewych krańców (pn) i zarazem prawych krańców (qn), tzn. Zbliżają się one do siebie.
Czy możliwe, by c był równy któremuś z wyrazów zadanego nam na początku ciągu an, który w każdym kroku staraliśmy się tak skrzętnie "wyminąć"? Nie, bo nasz ciąg odcinków konstruujemy tak, by an nie należał do pn, qn (gwarantujemy sobie, że jest tak dla każdego n), natomiast c należy do każdego z naszych odcinków (jako ich przekrój, a więc z definicji, przekrój pewnej rodziny zbiorów to bowiem te elementy, które należą do każdego z nich). A zatem c jest obiecaną na początku wywodu liczbą rzeczywistą, której na pewno nie ma w ciągu an – który był ciągiem dowolnym, co czyni nasze rozumowanie ogólnym.
To nie wszystko. Przytoczymy jeszcze dowód przedstawiony m.in. w książce Couranta i Robbinsa "Co to jest matematyka?", choć nie jest on do końca precyzyjny, ale poglądowo bardzo ciekawy. Znów posłużymy się tylko odcinkiem (0, 1). Załóżmy, że zbiór wszystkich punktów z tego odcinka da się ułożyć w ciąg a1, a2, a3 ... Stwórzmy wokół pierwszego elementu ciągu, tj. punktu a1, przedział długości 1/10. Wokół a2 tworzymy kolejny przedział – długości 1/100 (podnosimy 10 do kwadratu). Wyraz trzeci zamykamy w przedziale długości 1/1000. Tradycyjnie możemy rzec: i tak dalej. Co z tego wynika? Jeśli rzeczywiście wszystkie punkty odcinka należą do ciągu, to cały ten odcinek jest pokryty przez zachodzące na siebie przedziały, ściślej: przez nieskończony ciąg coraz mniejszych przedziałów. Na przykład może być tak, że tysięczny wyraz wynosi 0,9 – i wokół 0,9 tworzymy malutki przedział długości 1/101000. Wspaniale, ale co z tego?
Otóż możemy zmierzyć sumę długości tych przedziałów. Po co, zapyta ktoś? Skoro pokrywają cały przedział (0, 1), a pokrywają, bo tworzone są wokół każdego punktu, to suma ich długości wynosi z pewnością co najmniej 1 (co najmniej, bo mogą na siebie zachodzić i będziemy mieć "nadmiarowe" długości).
Okazuje się, że nie. Pierwszy przedział ma długość 1/10, drugi 1/102, trzeci 1/103 itd. Cóż to jest? Ciąg (postęp) geometryczny, którego granica to 1/9. Mnożymy bowiem – według znanego wzoru – pierwszy wyraz (1/10) przez wyrażenie 1/(1-q), gdzie q to także 1/10. Czyli 1/10 mnożymy przez 10/9 i otrzymujemy 1/9. Wygląda na to, że cały przedział (0, 1) można pokryć ciągiem przedziałów, których suma długości jest niewątpliwie dużo niższa niż 1, choć podobno "zajmują" cały przedział. Po raz kolejny założenie o przeliczalności liczb rzeczywistych, tj. o możliwości ułożenia ich w ciąg, a co za tym idzie – o możliwości ułożenia liczb z (0, 1) w ciąg – doprowadziło nas do sprzeczności.
W drugiej części dowiemy się, dlaczego liczb w dwuwymiarowym kwadracie jest tyle samo, co na jednowymiarowym odcinku (a zatem - dlaczego płaszczyzna i prosta są równej mocy), pokażemy również, że zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru A ma większą moc niż A.
[1] Należy przy tym odnotować, że wyniki i metody Cantora, w szczególności jego swobodne posługiwanie się aktualną nieskończonością, spotkały się na początku z opozycją niektórych matematyków (jak np. Leopold Kronecker). Co więcej, do dziś istnieją matematyczno-filozoficzne szkoły intuicjonistów, finitystów czy wręcz ultra-finitystów, które sceptycznie podchodzą do żonglowania nieskończonościami. Nie mają one jednak dużego przebicia, stąd też na uniwersytetach powszechnie akceptuje się teorie Cantora.
-
Popularne
-
Ostatnio dodane
Menu
O Finweb
ANALIZY TECHNICZNE
Odwiedza nas
Odwiedza nas 2450 gości