• WIG
  • WIG20
  • WIG30
  • mWIG40
  • WIG50
  • WIG250
WALUTY
WSKAŹNIKI MAKRO
SymbolWartość
Inflacja CPI2%
Bezrobocie5.9%
PKB5.2%
Stopa ref.1.5%
WIBOR3M1.70%
logo sponsora
GIEŁDY - ŚWIAT
INDEKSY - POLSKA
TOWARY

Macierze wielowskaźnikowe

W zasadzie każdy, kto uczęszczał na studia ekonomiczne, miał do czynienia z macierzami - choćby w ramach elementarnego kursu algebry liniowej. Oczywiście ta uwaga dotyczy także (albo i jeszcze bardziej) absolwentów kierunków inżynierskich, nie mówiąc o fizyce, matematyce i informatyce.

W ramach algebry liniowej niemal zawsze omawia się macierze (ew. krakowiany) dwuwymiarowe: to znaczy takie, które składają się tylko z wierszy i kolumn, a więc każdy wyraz ma jedynie dwie współrzędne, co zapisuje się np. jako a12 czy a34 (ogólnie aij).

Dziś jednak będziemy mówić o macierzach wielowymiarowych czy też wielowskaźnikowych. W tych obiektach każdy element ma więcej niż dwie współrzędne - np. 3, 4, 5 lub jeszcze więcej. W pewnym sensie są to obiekty zupełnie naturalne, bo przecież często spotykamy się z klasyfikacją rzeczy ze względu na kilka kryteriów. A jednak teoria macierzy wielowskaźnikowych jest jeszcze stosunkowo młoda i mało znana: głównie dlatego, że bez programu komputerowego wszelkie obliczenia, a nawet same definicje, jawią się jako skomplikowane i niekoniecznie intuicyjne (o czym się zaraz przekonamy).

*

Podążać będziemy przede wszystkim za artykułami J. Olesinkiewicza i W. Sklinsmonta. Z nich zaczerpniemy notację i niektóre przykłady. Zaczniemy od podstawowych, formalnych definicji.

Rozważmy następujące, skończone podzbiory zbioru liczb naturalnych:

Na przykład J1 = {1, 2, 3}, J2 = {1, 2}, wówczas n1 = 3 dla α= 1, n2 = 2 dla α= 2, zaś p = 2.

Poniższą funkcję:

- nazywamy p-wskaźnikową macierzą o wartościach rzeczywistych. Prosty przykład to 2-wskaźnikowa macierz 2 na 2. Przyjmujemy p = 2, n1 = 2, n2 = 2. Funkcja staje się wówczas przypisaniem czterech wartości do dwóch kolumn i dwóch wierszy, choćby w taki sposób:

Jeśli weźmiemy pierwszy element zbioru J1 i pierwszy element J2, to odpowiada mu lewy górny wyraz tej macierzy. Jego wartość to, jak łatwo zauważyć, 2. A więc 2 to w tym wypadku wartość funkcji f.

Oczywiście tak naprawdę będą nas interesować głównie macierze o p większym niż 2.

Taką liczbę:

- nazywamy elementem p-wskaźnikowej macierzy (element ten ma współrzędne i1 i2 ... ip). W podanym przed chwilą przykładzie element o współrzędnych i1 = 2, i2 = 1, to element z 2-go wiersza i 1-szej kolumny (jeśli indeksem i1 odliczamy wiersze, a przy pomocy i2 kolumny), czyli wyraz 3 (lewy dolny róg).

Całą macierz, tj. zbiór wartości funkcji f, symbolicznie zapisujemy jak poniżej:

Nazywa się to obrazem p-wskaźnikowej macierzy. Liczbę nα nazywamy stopniem wskaźnika iα. W naszym przykładzie mamy 2-wskaźnikową macierz 2 na 2, czyli dla obu wskaźników, tj. dla wierszy i kolumn, stopień jest taki sam i wynosi 2. W macierzy 2-wskaźnikowej, ale 3 na 4 (trzy wiersze i cztery kolumny), mielibyśmy stopnie 3 i 4.

*

Następna rzecz, zresztą bardzo istotna, to tzw. przekrój prosty o orientacji iα. Symboliczny zapis jest taki:

Oznacza to, że ustalamy wartość współrzędnej iα i dostajemy macierz p-1 wskaźnikową. Można też ustalić więcej wartości indeksów:

- i otrzymać macierz (p-m)-wskaźnikową. Brzmi to bardzo niejasno, dlatego rzecz warto zobaczyć na przykładzie. W operacji tej chodzi o to, że przy pomocy (p-1) lub (p-2)-wskaźnikowych przekrojów można nawet bardzo wielowymiarowe macierze zapisywać przy pomocy tablic prostokątnych.

Spójrzmy:

Mamy tu macierz A (zaczerpniętą z publikacji Olesinkiewicza), którą należy czytać następująco: cztery "klatki" (zamiennie będziemy używać słów takich jak "kratki" lub "bloki") ułożone pionowo odpowiadają piętrom w akademiku; następnie wewnątrz każdej klatki kolumna mówi nam, ile pokojów danego typu jest na piętrze (chodzi o pokoje 1-, 2-, 3-osobowe, to już wiedza zewnętrzna, nie wynikająca z macierzy); a wiersz mówi nam, ile jest pokojów dla danej płci (męskiej i żeńskiej). Na przykład na drugim piętrze mamy 4 jednoosobowe pokoje męskie i 0 damskich tego typu. Z kolei na czwartym piętrze mamy 3 dwuosobowe pokoje męskie i 6 damskich tego rodzaju.

Jest to przekrój typu p-1: wybraliśmy współrzędną odpowiadającą piętrom i patrzymy, jak wyglądają sprawy na piętrach.

Ale macierz B, również w przekroju typu p-1, odnosi się do tego samego obrazu. Tym razem wybieramy jednak współrzędną określającą typ pokoju. Zatem są trzy klatki: pokoje 1-, 2- i 3-osobowe. Za to każda klatka ma 4 wiersze (cztery piętra) i 2 kolumny (płci, podobnie jak poprzednio). W ten sposób możemy np. łatwo dowiedzieć się, że jeśli chodzi o pokoje 3-osobowe, to na drugim piętrze są 4 męskie tego typu i zero damskich, a jeśli chodzi o pokoje 2-osobowe, to na pierwszym piętrze są po 3 męskie i damskie.

Następny obraz cytujemy za pracą Sklinsmonta:

Tutaj pokazane są dwie struktury zapisu pewnej macierzy A, 4-wskaźnikowej. Strukturę taką symbolicznie oznaczamy jako E (w tym wypadku E1 i E2). Struktury nie zawierają właściwych danych macierzy, a jedynie współrzędne tych danych (elementów). Pierwsza struktura, E1, powinna być interpretowana tak: "kratki" poziomo to współrzędna i4, kratki pionowo to wskaźnik i3, a w każdej kratce wybieramy indeks i1 jako wiersz oraz i2 jako kolumnę. Przykład: w prawym dolnym rogu mamy element o współrzędnych 3223, tj. 3-ci wiersz, 2-ga kolumna, 2-gi rząd kratek i 3-cia kolumna kratek.

Zapis E2 jest inny: tym razem nasze "główne", przekrojowe współrzędne to i1 w poziomie (trzy kolumny kratek) i i4 w pionie (trzy wiersze kratek), a w każdej kratce mamy jeszcze dwa wiersze (indeks i2) i dwie kolumny (indeks i4).

Konkretna macierz A zapisana na te dwa sposoby może wyglądać tak:

Rozważmy element w prawym górnym rogu A/E1. Ma on wartość 2 oraz indeks 1213: pierwszy wiersz i druga kolumna wewnątrz kratki, a kratka ta jest położona w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie kratek. Element ten w zapisie A/E2 trafia do lewego dolnego rogu całej macierzy!

*

Dwie macierze wielowskaźnikowe są tego samego typu, jeśli:

To znaczy, że: 1) mają tyle samo wskaźników; 2) a odpowiadające sobie wskaźniki są tego samego stopnia. Możemy je wówczas dodawać:

To działanie nie jest skomplikowane, dodaje się po prostu odpowiadające sobie elementy:

W tym wypadku dodajemy dwie macierze 3-wskaźnikowe, przy czym jeśli "kratki" czy też "bloki" indeksować jako i1, to i1 jest stopnia 2 (dwie kratki), a jeśli wewnątrz "bloku" i2 to wiersze, zaś i3 to kolumny, wtenczas i2 jest stopnia 2, a i3 stopnia 3.

*

Dodawanie jest proste. Znacznie bardziej skomplikowane jest mnożenie, które naprawdę przyprawiać może o ból głowy - przynajmniej wtedy, gdy próbujemy literalnie stosować ogólne wzory.

Zacznijmy od tego, że indeksy naszej macierzy, tj. ciąg i1 i2 ... ip rozbijamy na trzy rozłączne ciągi (bloki), być może zmieniając kolejność. Zapisujemy to symbolicznie jako l1, ..., lκ, s1, ... sλ, c1, ..., cμ. Dla dwóch macierzy A i B powinno to wyglądać tak:

Obowiązują przy tym zależności κ + λ + μ = p oraz λ+ μ+ ν= q. Iloczyn macierzy A i B określa się tak:

Wzór jest trudny, może wręcz koszmarny: przy większych rozmiarach ręczne obliczenia są z tego powodu żmudne i nieoczywiste. W dodatku procedura ta nie jest jednoznaczna, tzn. zależy ona od sposobu rozbicia naszych pakietów indeksów. Wynikowa macierz ma zawsze κ + λ + ν wskaźników, przy czym niektóre z tych liczb mogą być zerowe.

Zobaczmy zatem, jak to działa - na pewnym prostym przykładzie, który okaże się mocno intuicyjny. Jest to uproszczony wariant wcześniejszego modelu domu studenckiego.

Spójrzmy:

Mamy dom studencki o dwóch piętrach, z pokojami 1- i 2-osobowymi, a zarazem z pokojami męskimi i damskimi. Załóżmy, że wszystkie pokoje są zajęte. Ilu jest mężczyzn, a ile kobiet w budynku?

Intuicja podpowiada, że powinniśmy przejść przez oba piętra i na każdym zliczać mężczyzn (liczba męskich pokoi danego typu razy liczba osób w takim pokoju), a równolegle wykonywać analogiczny rachunek dla kobiet. Rzeczywiście. Jako iloczyn macierzy zapisać możemy to następująco:

W pierwszym wierszu zliczamy mężczyzn, najpierw z pierwszego piętra (1*1 + 3*2), potem z drugiego (1*1 + 4*2), w drugim sumujemy damy.

Gdybyśmy przyjrzeli się temu działaniu i uważnie porównali je z ogólnymi wzorami zaprezentowanymi wyżej, to przekonalibyśmy się, że wszystko jest zgodne z tymi formułami.

A teraz mała zmiana: pytamy, ile osób (niezależnie od płci) jest na każdym piętrze. Czyli idziemy na pierwsze piętro, zliczamy mężczyzn i kobiety (na podstawie wiedzy o liczbie i liczebności pokojów), zapamiętujemy wynik - i przechodzimy na piętro drugie. Wygląda to tak:

Najpierw bierzemy kolumnę lewą górnej "kratki" naszej macierzy i dokonujemy jej "sumomnożenia" przez pierwszy wiersz drugiej macierzy; potem bierzemy prawą kolumnę górnej "kratki" i znów pierwszy wiersz drugiej macierzy (co prawda jej wiersze są akurat takie same...). Wyniki te sumujemy i dostajemy 12. Zmieniamy "kratkę" na dolną i postępujemy analogicznie.

Powiedzmy raz jeszcze: mamy w obu przykładach te same macierze, ale mnożymy je według innych reguł. Autorzy, których cytujemy, wyliczają aż 13 możliwości takiego mnożenia i podają dodatkowe warunki wykonalności. Stosując różne rozbicia indeksów można uzyskiwać analogony mnożeń znanych ze świata macierzy dwuwymiarowych, czyli np. iloczynu Hadamarda, iloczynu Kroneckera, produktu Khatri-Rao lub zwykłego iloczynu macierzy. Jedną z opcji jest również iloczyn tensorowy.

Macierze wielowskaźnikowe mają faktyczne i potencjalne zastosowania w takich zagadnieniach jak wielokryterialne podejmowanie decyzji, rachunkowość czy bazy danych. Oczywiście w praktyce obliczenia wykonuje - według uprzednio napisanych algorytmów - komputer.

 

Adam Witczak


BIBLIOGRAFIA:

H. J. Bao, A. J. Sang, H. X. Chen, "Inverse Operation of Four-Dimensional Vector Matrix", "I.J. Intelligent Systems and Applications", 2011, 5, 19-27.

J. Olesinkiewicz, "Macierze wielowskaźnikowe jako instrument działań na strukturach danych", w: "Metody matematyczne, ekonometryczne i informatyczne w finansach i ubezpieczeniach", cz. 2, red. P. Chrzan, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Katowicach 2006.

W. Sklinsmont, "Macierze wielowskaźnikowe w naukach ekonomiczno-społecznych", Acta Universtiatis Lodziensis, Folia Oeconomica, 253, 2011.

Ashu M. G. Solo, "Multidimensional Matrix Mathematics: Multidimensional Matrix Transpose, Symmetry, Antisymmetry, Determinant and Inverse, part 4 of 6", Proceedings of the World Congress on Engineering 2010 Vol III WCE 2010, June 30 - July 2, 2010, London, U.K.

Kontakt z redakcją

 

 

 

Nasze Portale

         
 

 

   Multum Ofert znanywet.pl
  • Wzrosty
  • Debiuty
  • Spadki
  • Obroty
Walor Cena Zmiana



 

 

 

 

 

 

 

Walor Cena Zmiana



Walor Cena Zmiana Obroty (*)
(*) wartości w tys. zł.


Ostatnie artykuły

Zgniły owoc

Zgniły owoc

2019-07-23 08:10:00

Energa i piąta ugoda

Energa i piąta ugoda

2019-07-23 05:05:15

FAMUR przedłużył termin zapisów w ...

FAMUR przedłużył termin zapisów w ...

2019-07-23 04:19:23

EUR/USD tańczy na wsparciu

EUR/USD tańczy na wsparciu

2019-07-23 04:10:00

Popularne artykuły

Nasza witryna używa plików cookies

Używamy informacji zapisanych za pomocą cookies w celu dostosowania naszych serwisów do indywidualnych potrzeb użytkowników.

Zobacz naszą politykę prywatności

Zobacz dyrektywę parlamentu europejskiego

Zezwoliłeś na zapisywanie plików cookies na tym komputerze