Procesy odnowy w inżynierii produkcji
- Utworzono: sobota, 20, sierpień 2016 21:36
Teoria odnowy to jedna z gałęzi rozbudowanej dziedziny matematyki, jaką jest rachunek prawdopodobieństwa. Teoria ta ma rozmaite zastosowania ekonomiczne.
Przede wszystkim jest użyteczna w inżynierii produkcji, ponieważ przy jej pomocy modeluje się zagadnienia związane z naprawą urządzeń czy ogólnie wszelkich obiektów technicznych. Na przykład dzięki funkcji odnowy można poznać wartość oczekiwaną liczby napraw w określonym przedziale czasowym. To z kolei pozwala ocenić, ile powinno się zawczasu przygotować części zamiennych, ilu pracowników skierować na odcinek napraw, jakie będą koszty finansowe tego wszystkiego etc.
Procesy odnowy znajdują zastosowanie także w matematyce aktuarialnej, czyli związanej z ubezpieczeniami. Wówczas przez odnowy rozumie się (trochę paradoksalnie) szkody czy też wnioski o odszkodowanie. Paradoks jest zresztą pozorny, jeśli tylko przyjmiemy (dla uproszczenia), że odnowa następuje właściwie zaraz po uszkodzeniu, niejako w tym samym momencie. Można jednak rozważać także (czego w tym tekście nie robimy) tzw. alternatywne strumienie odnowy, w których uwzględnia się czas niezdatności obiektu, tj. czas wykonywania naprawy.
W Polsce teorią odnowy (i szerzej - teorią niezawodności) zajmowali się m.in. tacy uczeni jak Dobiesław Bobrowski (autor kilku książek na ten temat) czy Bolesław i Ilona Kopocińscy - małżeństwo matematyków związanych z Uniwersytetem Wrocławskim. W tym omówieniu korzystamy przede wszystkim z pracy D. Bobrowskiego (por. bibliografia).
Poniżej przedstawimy kilka pojęć podstawowych pojęć z teorii odnowy - i kilkanaście niezbędnych wzorów.
Zacznijmy od ciągu zmiennych losowych:
Można je interpretować jako czasy zdatności obiektu - najpierw do pierwszego uszkodzenia (T1), później pomiędzy kolejnymi awariami. Naturalnie interpretacja ubezpieczeniowa też jest możliwa - są to wtedy odstępy czasu pomiędzy szkodami.
Te odcinki czasu mają swoje wartości oczekiwane:
A teraz pierwsze pojęcie stricte związane z teorią odnowy. Oto strumień odnowy, czyli ciąg zmiennych losowych, opisujących czasy do n-tej awarii:
O ile zakładamy, że zmienne losowe określające czasy pomiędzy uszkodzeniami (czyli zmienne T1, T2, ...) są niezależne, o tyle oczywiście nie można już tego powiedzieć o zmiennych tworzących strumień. Tu bowiem zachodzi zależność widoczna w drugim wzorze na ostatniej ilustracji.
Strumieniem prostym nazywamy taki, w którym T1 ma taki sam rozkład jak pozostałe. Innymi słowy, czasem do pierwszej awarii rządzi to samo prawo, co późniejszymi okresami. Jeśli dodatkowo wszystkie zmienne Ti mają rozkład wykładniczy (z tym samym parametrem), to mówimy o rozkładzie Poissona.
Strumień stacjonarny to taki, w którym zachodzi następująca zależność:
Ten wzór określa dystrybuantę pierwszej zmiennej losowej, tj. T1. Z kolei R(t) to funkcja niezawodności:
Jest to po prostu prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej przez czas t nie dojdzie do awarii (czy zgłoszenia szkody).
Strumień może być też okresowy - gdy czasy między uszkodzeniami określone są przez dyskretne zmienne losowe oraz zachodzi zależność (dla pewnej liczby τ > 0):
Możemy rozważać dystrybuanty czasów do n-tego uszkodzenia. Każda spełnia warunek (prawa strona to tzw. splot dystrybuant):
Wynika to z faktu, że:
Owo wynikanie to po prostu zastosowanie standardowego wzoru na dystrybuantę sumy zmiennych losowych, prezentowanego na kursie rachunku prawdopodobieństwa.
Analogicznie prezentują się gęstości wspomnianych czasów:
W tym momencie przypomnijmy, czym jest transformata Laplace'a funkcji:
Otóż możemy skorzystać przy naszych gęstościach czasów ze wzoru na transformatę splotu funkcji, który daje nam iloczyn transformat:
Okazuje się, że rozkład zmiennej losowej Sn dla dużych n można przybliżać rozkładem normalnym:
Po co to wszystko? Czas na mały przykład. Wyobraźmy sobie, że czas zdatności żarówki w pomieszczeniu ma rozkład wykładniczy. Strumień odnowy jest wtedy strumieniem Poissona i dla każdej ze zmiennych losowych T1, T2, ... zachodzą wzory (prezentujemy i dystrybuantę, i jej transformatę):
Z kolei transformata Laplace'a dystrybuanty czasu do n-tego uszkodzenia to (z odpowiedniego wzrostu łączącego transformaty gęstości i dystrybuanty):
Z tego można otrzymać tzw. transformatę odwrotną:
Do czego jest nam ona potrzebna? Otóż można dzięki niej wyliczyć oczekiwany czas do n-tego uszkodzenia (pomijamy obliczenia, które są po drodze):
Do tego dodajmy jeszcze wzór na kwantyl tγ rozkładu czasu do n-tego uszkodzenia:
Otóż praktyczny przykład jest taki: mamy jedną świecącą żarówkę i drugą, zapasową (na wymianę w razie awarii). Ile możemy w ten sposób zagwarantować sobie czasu oświetlania z ryzykiem wynoszącym 0,05 = 5 proc., że zapas będzie za mały? Otóż w powyższych wzorach bierzemy γ = 0,95 oraz n = 2. Przyjmijmy też, że parametr rozkładu Poissoina to λ = 0,001.
Pominiemy szczegóły obliczeń - przy wyliczaniu tγ trzeba użyć metod numerycznych, przybliżonych. W każdym razie efekt jest taki: t0,95 to ok. 4750, zaś t0,05 to ok. 350. Wielkości te można interpretować jako godziny. A więc: z prawdopodobieństwem równym 95 proc. mamy co najmniej 350 godzin oświetlania (przy zadanym rozkładzie), zaś z prawdopodobieństwem 5 proc. (czyli raz na 20 przypadków) te dwie żarówki wystarczą na 4750 godzin.
Znamy już pojęcie strumienia odnowy. Blisko związany jest z nim inny termin, tj. proces odnowy:
Jest to punktowy proces losowy, o wartościach, które oznaczają liczbę odnów do chwili t. A więc np. N5 to liczba odnów do końca piątej godziny, jeśli w takich jednostkach mierzymy czas. Przypomnijmy przy tym, że proces losowy (stochastyczny) to po prostu rodzina zmiennych losowych, indeksowana parametrem t, przebiegającym zbiór T - ale przy założeniu, że T jest podzbiorem prostej rzeczywistej, zaś t interpretowany jest jako czas. W pewnym sensie jest to jedna, ale wielowymiarowa zmienna losowa - jeśli mamy na myśli fakt, że ów ciąg zmiennych interpretujemy poniekąd jako tę samą wielkość (np. cenę akcji czy poziom opadów), tyle że w różnych momentach czasu. W każdej z tych chwil postrzegamy ową zmieniającą się wielkość jako odrębną zmienną losową.
Związek między procesem odnowy i strumieniem odnowy jest taki (równość zdarzeń):
Mamy jeszcze pojęcie funkcji odnowy, wspomniane na początku. To z kolei wartość oczekiwana procesu odnowy:
Dzięki znajomości tej funkcji możemy m.in. obliczyć oczekiwaną (średnią) liczbę uszkodzeń w danym przedziale czasu:
Rozważa się też gęstość odnowy, czyli pochodną funkcji odnowy:
Istnieją pewne twierdzenia, które obrazują zachowanie się funkcji odnowy w miarę upływu czasu. Otóż funkcja dla nieokresowego ogólnego strumienia odnowy spełnia następujący warunek asymptotyczny (tzw. elementarne twierdzenie odnowy):
Mamy też (dla strumienia nieokresowego, prostego i dla ε > 0) twierdzenie Blackwella:
Gdy mi jest nieskończone, to powyższa granica wynosi 0. Przez μ, jak na początku, rozumiemy wartość oczekiwaną zmiennej Ti, tj. ETi. W praktyce jednak, jeśli wszystkie te zmienne mają ten sam rozkład, to będzie to średnia dla tego rozkładu.
Jakie znaczenie ma twierdzenie Blackwella? D. Bobrowski podaje następujący przykład: mamy pewne urządzenie (wirówkę) i element w niej (filtr). Jego czas zdatności jest określony tzw. rozkładem Erlanga. Jego gęstość wyraża wzór:
Gęstość, przypomnijmy, ma tę cechę, że całka oznaczona z niej (od a do b) jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmuje wartość z zakresu [a, b]. Rozkład powyższy, jak widać, ma parametry α i λ, tu przyjmujemy α = 2 i λ = 0,03. Otóż w rozkładzie Erlanga wartość średnia μ =2/λ.
Weźmy więc przedział długości 400 godzin (400 h). Z twierdzenia Blackwella możemy oszacować, że ε / μ = 400 * 0,015. To oznacza, że stopniowo, w miarę upływu czasu, będziemy zbliżać się do sytuacji, w której na każde 400 godzin działania wirówki filtr będzie trzeba wymieniać średnio 6 razy. Dla 200 h wynik to 3 wymiany.
Dalsze zagadnienia, których nie będziemy tu opisywać, to np. obliczanie wariancji i odchylenia standardowego liczby odnów czy badanie rozkładu czasu do następnego uszkodzenia. Rozważa się też, jak pisaliśmy na początku, scenariusz, w którym czasy użytkowania przeplatają się z czasami niezdatności urządzenia. Jeszcze innym tematem są odnowy profilaktyczne, czyli odnowy - na wszelki wypadek - obiektów, które jeszcze są zdatne do użytku. Pojawia się więc problem tego, w jaki sposób takie działania rozmieścić w czasie, a więc jak zbudować odpowiednią (ekonomicznie opłacalną) strategię odnów profilaktycznych.
Adam Witczak
BIBLIOGRAFIA:
D. Bobrowski, "Modele i metody matematyczne teorii niezawodności", WNT 1985
A. D. Wentzell, "Wykłady z teorii procesów stochastycznych", PWN 1980
R. Rudnicki, "Wykłady z analizy matematycznej", PWN 2006
-
Popularne
-
Ostatnio dodane
Menu
O Finweb
ANALIZY TECHNICZNE
Odwiedza nas
Odwiedza nas 2628 gości