Funkcja użyteczności w teorii konsumenta

Teoria konsumenta to dział mikroekonomii, którego zadaniem jest opisywanie (można wręcz powiedzieć, że modelowanie) zachowań konsumenta dokonującego wyboru dóbr na rynku.

Głównymi pojęciami w tej dziedzinie są koszyk i funkcja użyteczności. Z nimi związane są z kolei takie terminy jak krańcowa użyteczność, krańcowa stopa substytucji czy elastyczność substytucji. Mają one swoją interpretację ekonomiczną czy też prakseologiczną, ale równolegle definiowane są w precyzyjny, abstrakcyjny sposób na gruncie matematyki.

Naturalnie nie jest tak, że prawdziwy konsument dokonuje wyborów w sklepie, kierując się w sposób świadomy swoją funkcją użyteczności. Nikt z nas nie rozumuje w taki sposób, równie dobrze mogą kierować nami chwilowe kaprysy – ale to nie problem. Funkcja ma jedynie przybliżać pewne zachowania, np. w oparciu o uśrednione dane empiryczne. Istnieją co prawda szkoły myśli ekonomicznej, które podważają zasadność matematycznego modelowania tego rodzaju zjawisk (najsłynniejszą z nich jest szkoła austriacka), ale nie będziemy się tu zajmować tym złożonym zagadnieniem z obszaru metodologii. Przedstawimy jedynie podstawowe definicje i twierdzenia (oraz przykład) – w takiej postaci, w jakiej odbywa się to podczas większości akademickich kursów mikroekonomii.

Pierwszym istotnym terminem jest koszyk towarów. Zakładamy, że rozpatrujemy skończoną ich liczbę. Zatem w koszyku będzie n towarów, on sam przyjmie zaś postać wektora x = (x₁, x₂, ... , x_n). Na i-tym miejscu mamy x_i – przez co rozumiemy ilość i-tego towaru. Może ona być mierzona np. w sztukach, metrach czy kilogramach, naturalnie powinniśmy to ujednolicić.

Drugie pojęcie to przestrzeń towarów, oznaczana literą X. W zasadzie chodzi tu o przestrzeń dostępnych na rynku koszyków towarów:

Zakłada się, że konsument może (określając swe preferencje) porównywać między sobą zarówno pojedyncze towary, jak i całe koszyki. Co się tyczy d(x, y), to jest to metryka – tzw. odległość między koszykami. Widzimy, że definiowana jest ona tak: bierzemy po kolei każdy towar (i-ty towar), następnie patrzymy, jak dużo jest go w pierwszym i drugim koszyku, zapisujemy różnicę ilości, a następnie z otrzymanych różnic wybieramy maksimum.

Nawiasem mówiąc, określenie koszyka i przestrzeni towarów jasno pokazuje nam, że rozpatrujemy koszyki "tego samego rodzaju". Innymi słowy, zawierają one te same artykuły, tyle że w różnych ilościach. Nie chodzi więc o porównywanie koszyka '2 jabłka, 3 agrafki' z koszykiem '4 gruszki, 2 kostki mydła, 5 pudełek zapałek, 4 spinki do włosów'.

Trzeci termin, który będzie dla nas – nomen omen – użyteczny, to nic innego, jak funkcja użyteczności konsumenta. Oznaczamy ją przez literą u, zaś dziedzinę i przeciwdziedzinę, a także żądane warunki – widzimy poniżej:

Definiujemy też obszar obojętności K_x0 danego koszyka x₀ – a więc zbiór koszyków, które konsument uważa za równie dobre jak x₀. Otóż załóżmy, że u(x₀) = c > 0. Wtedy:

Oprócz wektora towarów (koszyka) możemy rozważać jeszcze wektor cen towarów, który przyjmie postać p = (p₁, p₂, ... , p_n), gdzie p_i to za każdym razem dodatnia liczba rzeczywista. Do tego rozważamy dochód konsumenta, oznaczony jako I (od ang. income). Naturalnie możliwości wyboru konsumenta są ograniczone jego dochodem oraz cenami towarów, co obrazuje następująca nierówność (tzw. ograniczenie budżetowe):

Jakiej wiedzy na temat funkcji użyteczności możemy chcieć? Na przykład tego, jaką wartość maksymalną przybiera przy określonym ograniczeniu budżetowym. Działanie tej funkcji polega bowiem na tym, że przypisuje ona bardziej preferowanym koszykom wyższe liczby. Można więc pytać o to, jaką największą użyteczność można osiągnąć, a zarazem – i to jest chyba jeszcze istotniejsze i bardziej konkretne – przy którym koszyku jest to możliwe. Innymi słowy, który koszyk powinniśmy doradzić konsumentowi, by było mu "najlepiej", a jednocześnie – aby zmieścił się w posiadanych zasobach finansowych.

To, że w drugiej linijce powyższej klamry możemy wstawić równość w miejsce nierówności wynika z faktu, że funkcja u rośnie na określonym zbiorze. Zagadnienie powyższe rozwiązywać można metodą mnożników Lagrange'a. Jeśli mielibyśmy tylko dwie zmienne (a zatem rozpatrywalibyśmy tylko koszyki zawierające tylko po dwa towary), wówczas moglibyśmy zbudować funkcję Lagrange'a wyglądającą następująco:

W rachunku różniczkowym dowodzi się, że ekstrema funkcji dwóch zmiennych (u nas będzie to funkcja u), określonej na zbiorze opisanym równaniem postaci g(x, y) = c (u nas będzie to ograniczenie budżetowe potraktowane jako równość, czyli drugi wiersz klamry) mogą istnieć tylko w punktach, w których zeruje się gradient funkcji L. Gradient – to wektor, którego wierszami są pochodne cząstkowe rozpatrywanej funkcji. A zatem musimy rozwiązać następujący układ:

Rozwiązanie określa się jako punkt stacjonarny, który można określić jako S = (s₁, s₂). W punkcie tym może istnieć maksimum funkcji użyteczności, ale nie musi. Trzeba jeszcze sprawdzić warunek konieczny. W tym celu konstruuje się tzw. hesjan obrzeżony, tzn. macierz postaci:

Powyższy wzór jest ogólny, dla g(x,y) jako funkcji wyznaczającej ograniczenie. My natomiast otrzymamy macierz wyglądającą tak:

Odpowiednie twierdzenie mówi, że funkcja u (nie mylić z L) ma w punkcie stacjonarnym (s₁, s₂) maksimum lokalne, jeśli wyznacznik hesjanu obrzeżonego, wyliczonego w tymże punkcie – jest większy lub równy 0. To znaczy, musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność:

Wypada jeszcze wprowadzić kilka innych terminów, związanych z interesującymi nas zagadnieniami.

Mamy więc np. krańcową użyteczność i-tego towaru, którą definiujemy jako:

Mówimy, że zachodzi tzw. prawo Gossena, jeśli krańcowa użyteczność i-tego towaru maleje, gdy zwiększa się ilość tego towaru w koszyku, podczas gdy ilość pozostałych towarów nie ulega zmianie.

Z kolei krańcowa stopa substytucji definiowana jest tak:

Mówi ona, o ile (w przybliżeniu) należy zmniejszyć w koszyku x ilość towaru x_j, zwiększając zarazem ilość towaru x_i o jednostkę – w taki sposób, by nie zmieniła się użyteczność koszyka.

Następna wielkość to elastyczność substytucji:

Wzory te mogą się wydawać mało użyteczne, ale okazuje się, że przy stosunkowo prostych założeniach co do funkcji użyteczności u (ma być rosnąca, silnie wklęsła, dwukrotnie różniczkowalna i posiadać ujemnie określony hesjan) możemy do wyliczenia obu powyższych wielkości zastosować następujące formuły (zapisujemy je dla koszyka dwóch towarów):

Ściślej rzecz ujmując, chodzi o obliczenie tych wielkości dla konkretnego punktu (koszyka). Dodajmy, że ujemna określoność hesjanu oznacza, że jego wyznacznik jest dodatni, zaś ujemny jest wyraz odpowiadający drugiej pochodnej po pierwszej zmiennej (tj. u''_xx).

Spójrzmy, jak to działa – na przykładzie.

Wyobraźmy sobie konsumenta, którego funkcja użyteczności będzie dana wzorem (typowym dla tego rodzaju przykładów):

Załóżmy, że kupił on 12 jednostek dobra x oraz 7 jednostek dobra y. Jaka będzie krańcowa stopa substytucji towaru x przez y? A jaka będzie elastyczność substytucji?

Wyliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

W punkcie (12, 7) wartości wynoszą (w przybliżeniu, ale oczywiście moglibyśmy zapisywać tu ułamki i pierwiastki) odpowiednio 0,144 i 0,378. Zatem krańcowa stopa substytucji towaru x przez y w tym koszyku będzie równa 0,144 / 0,378 = 0,38 (wynik przybliżony). Co to znaczy? Interpretuje się to w ten sposób, że jeśli w koszyku (12, 7) zwiększymy ilość towaru x o jedną jednostkę, to ilość towaru y trzeba zmniejszyć o 0,38 jednostki, aby zachować niezmienioną użyteczność.

Można też uzyskany wynik 0,38 przemnożyć przez 12/7, tj. przez 1,71, by uzyskać ok. 0,65. Będzie to oznaczało, że zwiększeniu o 1 proc. ilości towaru x w koszyku powinno odpowiadać zmniejszenie ilości towaru y o 0,65 proc.

Kamil Kiermacz

Bibliografia:

Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania. Wybrane zastosowania, praca zbiorowa, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach 2007.

E. Roszkowska, Zadania z analizy matematycznej dla ekonomistów, Uniwersytet Ekonomiczny w Białymstoku, Białystok 2006.